漸化式の特殊解と一般解

　

 

次のよくある漸化式でてみよう。

＜問＞

　次の関係を満たす数列を求めよ。

　

     ・・・・�@

 

               ・・・・�A

 

 

高校の数学では、�@が漸化式、�Aを初項と呼ぶ。高校数学では�@を方程式とみていないから、方程式を解くという言葉は適切ではない。

ところで、差分方程式（広くは関数方程式である）から視ると

�@   は差分方程式で、�Aは初期条件である。

数学的な構造は微分方程式の場合と同様である。

また、�@に対して、次の方程式（漸化式）を考える。

 

     ・・・・�B

 

�A   式を同次方程式と呼ぶ、

これに対して、

�@を非同次方程式と呼ぶ

今後、�B式を区別するために次のように置き変えておく。

 

    ・・・・�C

 

●  一般解とは

任意（何でもよい）の初期条件（ここでは初項）をもった解である。

�B   の一般解は、公比２の等比数列であるから、等比数列の一般公の公式から

　　　・・・・�D

ここに、は任意の定数である。

この     が初項であり、差分方程式での初期条件に相当する。この初期条件を指定したものが特殊解である。

次に改めて、�@の特殊解を考えてみよう。

●　特殊解とは

方程式�@の解（特集解）を初期条件（初項）�Aとは関係なく探してみよう。未定係数法で、定数解を探してみよう。そこで、その解を （定数）としてみよう。すると次の１次方程式を得る。

　　　　・・・・・・�E

を得る。�Eを解いて

　　を得る。

 

�@の特殊解は

　　　

である。

実は�E式が受験参考書でいうところの特性方程式であつた訳である。

 

●�@式においての特殊解と一般解との関係

　いま�@の解（一般解）を　次のようにおくと�@式を満たしていることを以下のように確かめることができる。

　・・・・�F

とく。ここに、は�@の解（特殊解）、は�Cの解（一般解）である。

それでは、これを�@に代入して確かめてみよう。

�@  の右辺 ＝+

      

         

          =�@の左辺

 

一般に、線形の関数方程式について

非同次方程式の一般解＝ 非同次方程式の特殊解＋同次方程式の一般解

の関係が成り立つ。

そこで、これを利用して次の漸化式を解いてみよう（高校ではこの言葉はよくない、方程式とみていないのだから、以下の関係を満たす数列の一般項を求めよ。となる）。

     ・・・・�B

               ・・・・�C

 

●

まず、�Bの特殊解を一つ見つける。

�A  式の最後の項がだから、は１次式で置くのがよい。そこで、

　　　・・・・�D

とおき、未定係数法　(を未知数とする)　を用いるのである。すなわち、�D式を�Bに代入して　 を得る。について整理して

を得る。したがって、

　　　　　  ,   ・・・・・�E

�E式を解いて、　              

よって、漸化式�Bの特殊解は　　　 ・・・・・�F

なお、�Fは明に�Cを満たさない。だが、それでよい。

●

次に、漸化式�@の一般解を求める。�Bに対応する同次方程式は

     ・・・・�G

である。この一般解は

　・・・・�D

●

最後に、非同次方程式の一般解＝非同次方程式の特殊解＋同次方程式の一般解

により

　　　  ここに ,は任意定数である。これは初項�Cから

定めることができる。

=1  より　 、

よって、

　  　＜答え＞